Obsah

• inštrukcia
• tipy
• varovanie

Definícia epsilon-delta je ukážkou, ktorú sa študenti učia v prvom ročníku počtu hodín. Táto definícia je klasickým spôsobom, ako ukázať, že funkcia sa približuje k určitému prahu, pretože nezávislá premenná sa približuje danej hodnote. Epsilon a delta sú štvrté a piate písmeno gréckej abecedy. Tieto písmená sa tradične používajú pri výpočte hraníc a používajú sa aj v demonštračných procesoch.

inštrukcia

Definícia epsilon-delta sa používa na riešenie okrajových otázok. (Jupiterimages / Photos.com / Getty Images)

1. Je potrebné začať s formálnym vymedzením limitu. Táto definícia uvádza, že "limit f (x) je L, pretože x sa blíži k, ak pre každý epsilon väčší ako nula existuje zodpovedajúca delta, väčšia ako nula, taká, že keď hodnota absolútny rozdiel medzi x a k je menší ako delta, absolútna hodnota rozdielu medzi f (x) a L bude menšia ako epsilon. "Neformálne to znamená, že limit f (x) je L, keď x sa blíži k, ak je možné, aby sa f (x) čo najviac priblížilo k L, priblížením sa x k k. Na vykonanie demonštrácie epsilon-delta sa musí ukázať, že je možné definovať delta v podmienkach epsilon, pre danú funkciu a hranicu.

   
   

2. Manipulovať vyhlásenie "| f (x) - L | je menšie ako epsilon", kým sa nedostanete | x - k | menej ako určitá hodnota. Zvážte túto "určitú hodnotu" ako deltu. Pamätajte na formálnu definíciu a centrálnu myšlienku, ktorá hovorí, že je potrebné ukázať, že pre akékoľvek epsilon existuje delta, ktorá medzi nimi vytvára vzťah, ktorý robí definíciu pravdivou. Z tohto dôvodu je potrebné definovať delta z hľadiska epsilon.

3. Všimnite si niekoľko nasledujúcich príkladov, aby ste si uvedomili, ako postupuje definícia. Napríklad, aby sme dokázali, že limit 3x-1 je 2, keď x sa blíži 1, uvažujeme k = 1, L = 2 a f (x) = 3x-1. Uistite sa, že | f (x) - L | je menej ako epsilon, do | (3x - 1) - 2 | nižšia ako epsilon. To znamená, že | 3x - 3 | je menší ako epsilon, takže 3 | x - 1 | je tiež, alebo || x - 1 | je menšia ako epsilon / 3. Vzhľadom na túto delta = epsilon / 3, | f (x) - L | bude menej ako epsilon vždy, keď | x - k | je nižšia ako delta.

   
   

tipy

• Ústrednou časťou dôkazu je transformácia f (x) - L do x - k. Ak si tento cieľ ponecháte na pamäti, zvyšok demonštrácie bude dokonale prebiehať.

varovanie

• V niektorých situáciách môže hranica funkcie naznačovať, že f (x) má sklon k nekonečnu vždy, keď x má sklon k nekonečnu. Definícia epsilon-delta v týchto prípadoch nefunguje; v týchto situáciách sa podobná demonštrácia môže uskutočniť výberom dvoch veľkých čísel, M a N, a ukazujú, že f (x) môže prekročiť M tým, že spôsobí, že x prekročí N a M môže byť taký veľký, ako sa požaduje.